Урок «Квадратный трехчлен и его корни. Конспект урока по математике "Квадратный трёхчлен и его корни" Путь подражания – путь самый легкий
АЛГЕБРА
Все уроки для 8 классов
Урок № 63
Тема. Итоговый урок по теме «Квадратный трехчлен.
Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям и их использования для решения текстовых задач»
Цель: повторить, систематизировать и обобщить знания и умения учащихся относительно возможности и способов применения решения квадратного уравнения для разложения квадратного трехчлена на линейные множители, решения біквадратних и дробно-рациональных уравнений, а также текстовых задач физического и геометрического смысла.
Тип урока: систематизация и обобщение знаний и умений.
Наглядность и оборудование: опорные конспекты.
Ход урока
I. Организационный этап
II . Проверка домашнего задания
Чтобы сэкономить время, тщательной проверке подлежат только упражнения на применение алгоритма, изученного на предыдущем уроке.
III . Формулировка мсти и задач урока, мотивация учебной деятельности учащихся
Основная дидактическая цель и задачи на урок вполне логично вытекают из места урока в теме - поскольку урок последний, итоговый, то важным является вопрос о повторение, обобщение и систематизацию знаний и умений, приобретенных учащимися в ходе изучения темы. Такая формулировка цели создает соответствующую мотивацию деятельности учащихся.
IV . Повторение и систематизация знаний
@ В зависимости от уровня подготовки учащихся, их работу учитель может организовать разными способами: либо как самостоятельную работу с теоретическим материалом (например, за учебником или конспектом теоретического материала повторить содержание основных понятий темы или же составить схему, отражающую логическую связь между основными понятиями темы, и т.п.), или традиционно провести опрос (в форме интерактивной упражнения) с основными вопросами темы.
Выполнение устных упражнений
1. Какой многочлен называют квадратным тричленом? Приведите примеры.
2. Назовите коэффициенты квадратного трехчлена.
3. Что называют корнем квадратного трехчлена?
4. Сколько корней имеет квадратный трехчлен, если его дискриминантов:
а) больше нуля; б) равна нулю; в) меньше нуля?
5. Приведите примеры уравнений, сводящиеся к квадратным.
6. Какой план решения уравнения:
а) х4 - 3х2 + 2 = 0; б) (х - 3)2 + 2(х - 3) + 1 = 0; в) .
7. По какому плану осуществляется решение задачи на составление уравнения?
V . Повторение и систематизация умений
@ Обычно этот этап урока проводится в форме групповой работы, цель которой заключается в том, чтобы учащиеся сами сформулировали и испытали обобщенную схему действий, которой они должны придерживаться в решении типовых задач, подобные которым будут вынесены на контроль.
Например, типичными задачами темы «Квадратный трехчлен. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям и их использования для решения текстовых задач» задачи:
· найти корни квадратного трехчлена и разложить квадратный трехчлен на множители по формуле;
· сократить рациональный дробь, числитель и (или) знаменатель которого содержит квадратные тричлени, разложив их предварительно на множители по формуле;
· решить біквадратне (дробно-рациональное, уравнения высшего степени), что сводится к квадратному по определенному алгоритму;
· составить и решить в соответствии с условия текстовой задачи уравнение сводится к квадратному.
После составления списка основных видов задач учитель объединяет учеников в рабочие группы (по количеству видов заданий) и задания каждой из групп формулируется как «Составить алгоритм решения задачи...» (каждая из групп получает индивидуальное задание). На составление алгоритма каждой из групп отводится определенное время, за которое участники группы должны составить алгоритм, записать его в виде последовательных шагов, подготовить презентацию своей работы. По окончании происходит презентация выполненной работы каждой из групп. После презентации - обязательное испытание алгоритмов: причем желательно, чтобы группы обменялись алгоритмами и проверили их применение не на одном, а на нескольких задачах. После испытания - обязательная коррекция и подведения итогов.
VI . Итоги урока
Итогом урока обобщения и систематизации знаний и умений учащихся является, во-первых, составленные самими учениками обобщенные схемы действий при решении типовых задач, во-вторых - осуществление учащимися необходимой части сознательной умственной деятельности - рефлексии - отражения каждым учеником личного восприятия успехов, и самое главное - проблем, над которыми следует еще поработать.
VII . Домашнее задание
1. Изучить составленные на уроке алгоритмы.
2. Используя составленные алгоритмы, выполнить задания домашней контрольной работы.
Домашняя контрольная работа
1. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если его площадь равна 24 см2.
2. Путь от пункта А до пункта В, который составляет 20 км, турист должен преодолеть за определенное время. Однако был задержан с выходом на 1 час, поэтому он был вынужден увеличить скорость на 1 км/ч, чтобы ликвидировать опоздание. С какой начальной скоростью должен был двигаться турист?
3. Решите уравнение:
а) 9х4 - 37х2 + 4 = 0;
б) (х2 - 2х)2 - 3(х2 - 2х) - 4 = 0;
в) (х - 4)(х - 3)(х - 2)(х - 1) = 24;
г) 
; д)* х2 - 7|x| + 6 = 0.
4. Через одну трубу можно наполнить бассейн на 9 часов быстрее, чем через вторую опорожнить этот бассейн. Если одновременно включить обе трубы, то бассейн наполнится за 40 ч. За сколько часов первая труба может наполнить, а вторая - опорожнить бассейн?
2 Цели урока: Обобщение свойств квадратичной функции Установление связи с наиболее трудными вопросами теории (решение неравенств, уравнений, содержащих модуль, параметр) Показать примеры использования изученного материала в ходе решения заданий Проверить знания и умения с помощью теста
« Тропинка к истине сложна и потому в мышленье чистом отвага дерзкая нужна не менее, чем альпинистам». План 1 этап. История квадратных уравнений. 1 этап. История квадратных уравнений. 2 этап. Воспроизведение повторяемого материала. 2 этап. Воспроизведение повторяемого материала. 3 этап. Систематизация и обобщение ранее изученного. 3 этап. Систематизация и обобщение ранее изученного. 4 этап. Углубление и расширение знаний. 4 этап. Углубление и расширение знаний. 3
История квадратных уравнений Общий метод решения квадратных уравнений был открыт индийскими математиками. Так, в 12 веке н.э. индийский математик Бхаскара для общего уравнения ax 2 +bx+c=0 нашел решение в виде: X= Причем отрицательных корней он в расчет не принимал.
2 этап. Воспроизведение пройденного материала 1.Разложить на множители квадратный трехчлен: 2х 2 -х-1, получим: а) 2(х-0,5)(х+1); б) (х+0,5)(х-1); в) (2х+1)(х-1); г) (х-0,5)(х+1); д) (2х+1)(2х-2). 2. Обозначим через х 1 и х 2 соответственно больший и меньший корни уравнения 108х 2 -21х+1=0. Тогда х 1 -х 2 равно: е) 1/12; ж) 5/12; з) 1/36; и) 36; к) График функции у=-х 2 -4 расположен в координатных четвертях: о) 1 и 2; п) 2; р) 3 и 4; с) 1 и Вершина параболы у=-х 2 -4х+1 – это точка с координатами: к) (2;-5); л) (-4;1); н) (-2;5). 5. Решить неравенство: -х 2 +7х-120 о) (-;3] U р) (-;-4] U [-3;+) 8 ВЕРНО
3 этап. Систематизация и обобщение ранее изученного. 1. Найти координаты точек пересечения параболы у=5х 2 +10х+7 с осями координат и координаты вершины параболы. 3. Найти наибольшее значение выражения 3-(5+х) 2 4. Составить квадратное уравнение, корни которого вдвое больше корней уравнения х 2 +х+2=0 2. Вычислить значение выражения х 2 -36х+63 при х=37.
Ответы: Ось Ох не пересекает; ось Оу в точке (0;7). Координаты вершины (-1;2) Требуемого уравнения составить нельзя, так как исходное не имеет корней.
Тема урока «Квадратный трехчлен»
На указанную тему предполагается два дистанционных занятия по 45 минут.
Представляемый сценарий уроков «Квадратный трёхчлен» объединяет изучение разделов «Теория», «Практика» и «Контроль». Дистанционный урок проводиться, используя электронный учебник «Квадратный трёхчлен» в котором содержаться и теоретический и практический материал, а также итоговые тесты по данной теме. Раздел «Теория» дается перед каждым упражнением для самообучения и самоконтроля.
Если в разделе «Практика» (упражнения от 1-9 электронного учебника), ученик затрудняется выполнить самостоятельно какое-то упражнение, то он может вернуться назад и повторить теорию к данному практическому заданию.
Урок 1
Раздел «Теория»
В начале урока вспоминаем определение квадратного трёхчлена, квадратного уравнения, виды квадратных неравенств ax 2 + b х+ c >0 ; ax 2 + b х+ c ax 2 + b х+ c <0 ; ax 2 + b х+ c 0 , графическое изображение функции y = ax 2 + b х+ c , количество корней квадратного уравнения y = ax 2 + b х+ c , в зависимости от знака дискриминанта (D >, D <0, D = 0). Для этого учитель предлагает учащимся открыть электронный учебник и зайти в разделы «Введение», « D >», « D <0», « D =0», «Неравенства» , где дается краткая информация о квадратном трёхчлене, об условных обозначениях, используемых в заданиях, о роли коэффициентов a , b , с и коэффициента a . Учащиеся открывают каждый раздел, изучают тему, а учитель проводит консультацию и разъяснение по каждому разделу. В разделе «Неравенства» учитель поясняет учащимся,что для решения квадратных неравенств можно использовать геометрические модели. Нам в разделе даны 4 неравенства:1. ax 2 + b х+ c >0; 2. ax 2 + b х+ c 3. ax 2 + b х+ c <0; 4. ax 2 + b х+ c 0, учащиеся по данным геометрическим моделям квадратных трёхчленов учатся находить решения квадратных неравенств. Ученики нажимают на первое неравенство и на всех геометрических моделях появляются решения к нему. Потом таким образом находят решения на всех моделях по неравенствам 2, 3, 4.
Раздел «Практика»
Упражнение №1
D >0, D <0, D =0.
Упражнение №2
«Практикум» (самопроверка) «Нахождение графика функции квадратного трехчлена по заданной алгебраической модели» D >0, D <0, D =0.
Упражнение № 3
«Практикум» (самоконтроль). Проверяются умения применять знания о решении квадратных неравенств.
Упражнение №4
«Практикум» (самоконтроль). Нахождение количество корней квадратного уравнения, используя знания о дискриминанте и теоремы Виета.
Упражнение № 5
«Практикум» (работа с тестами). Даны неравенства, и три решения данного неравенства. Необходимо выбрать верное решение.
Упражнение № 6
Закрепление материала по нахождению количества корней квадратного трехчлена, применяя знания о знаках коэффициента а и D = b 2 -4 ac . Проводиться работа с алгебраическими и геометрическими моделями квадратного трёхчлена.
Упражнение № 7
«Практикум» и самопроверка. Нахождение количества корней квадратного уравнения, используя знания D >0 – 2 корня, D <0 – нет корней, D =0 – 1 корень. Устно по данным алгебраическим моделям квадратных уравнений находят дискриминант и делают выбор ответа. (Поясняем ребятам, что в данном упражнении специально допущена ошибка, ученики должны найти ее и обосновать)
Упражнение № 8 и 9
«Практикум» и самоконтроль. В упражнении № 8 и 9 ученики совершенствуют соотношение данных условий с геометрическими моделями квадратного трёхчлена. Эти упражнения-практикумы дают возможность обучающимся дать самооценку. Готовы ли они к итоговому тесту по данной теме или нет.
Урок 2
На этом уроке тоже предполагается работа с электронным учебником «Квадратный трёхчлен»
Раздел «Контроль»
В начале урока на 15 минут проводиться повторение изученного материала в электронном учебнике, ученики просматривают теоретический материал и отвечают на вопросы учителя.
Раздел «Контроль» состоит из двух итоговых тестов по всей изученной теме на оценку. Первый тест запланирован учащиеся выполняют без ограничения времени, а и сразу получает отметку. После этого приступает к тесту №2, который выполняется на время на него отводиться всего 15 минут, это делается с целью подготовки обучающихся к итоговой аттестации в 9 классе по математике.
В качестве домашнего задания можно предложить прототипы для подготовки к ГИА по данной теме используя сайт решать задания В2, С1.
Разделы: Математика
Цель урока. Обобщить знания учащихся по применению трехчлена и решению различных задач.
Ход урока.
1. Оргмомент
2. Квадратный трехчлен.
а). Продолжите или дополните утверждение:
- Чтобы найти корни квадратного трехчлена ax 2 +…, надо решить уравнение вида …
- Дискриминант квадратного уравнения находится по формуле D=…
1 o) Квадратным трехчленом называется многочлен вида …,где х – переменная, … – некоторые числа, причем a…
2) а Корни квадратного уравнения находятся по формуле х=…
3) Корнем квадратного трехчлена называется значение переменной, при котором значения этого трехчлена …
4) Если известны х 1 и х 2 – корни квадратного трехчлена, его можно разложить на множители по формуле …
б). С/р с элементами тестирования.
Ответ: да, нет, не знаю.
- D<0. Уравнение имеет 2 корня.
- Число 2 является корнем уравнения х 2 +3х-10=0.
- Существуют ли такие значения t, при которых квадратный трехчлен 4t 2 -11t+16 принимает значение, равное 10?
Ответ: а) не сущ.; б) да; x 1 =3/4, x 2 =2; в) да; t 1 =-2, t 2 =-3/4.
- D>0. Уравнение имеет 2 корня.
- Число 3 является корнем квадратного уравнения х 2 -х-12=0.
- Существуют ли такие значения х, при которых трехчлены 2х 2 -7х-54 и х 2 -8х-24 принимают равные значения.
Ответы на задания написаны на тыльной стороне доски.
в) Разложите на множители квадратный трехчлен:
- х 2 -6х-7;
- 3х 2 +11х-4;
- х 2 +7х-8;
- 3х 2 -4х-4.
г) Сократите дробь:
д) Выделите квадрат двучлена:
- х 2 -2х-3;
- х 2 +6х+7.
3. Квадратичная функция, ее график и свойства.
- Какая функция называется квадратичной? Как называется график функции?
- Как проходит график квадратичной функции, если a<0.
- Ветви параболы направлены вверх. Каким является число a?
- В одной системе координат изобразите схематически график
5 а) Принадлежат ли графику y=20x 2 B(0,5;5), y=-50x 2 A(-0,2; -2).
5) Параболу y=2x 2 сдвинули вниз на 4 ед. и вправо на 3 ед., а ветви направили вниз. Напишите уравнение полученной пораболы.
6)С/р с элементами тестирования.
а) Запишите координаты вершины:
б) Построить график функции
y=-x 2 -8x-14; y=x 2 -6x+8;
4. Неравенства с одной переменной.
1) Решите неравенство:
I. -5a 2 +6a+8<0
II. 4x 2 +x-3≥0
2) Решите методом интервалов:
- 2x 2 -18x>0
- x 2 -0,25≤0
- x(2x+9)(7-x)<0
3) Найдите области определения функции
.
Верно ли неравенство?
при x(-1; 2/5)
при x[-3; 1/2]
5. Решение уравнений и систем.
1) При каком значении а уравнение ax 2 +4x+4=0 не имеет корней?
2) Решите уравнение:
а) 2x 4 -19x 2 +12=0;
б) 
;
3) Изобразив схематически графики, выясните, сколько корней имеет уравнение
4) Решите систему уравнений наиболее рациональным способом.