Роль логических и комбинаторных задач в достижении метапредметных результатов при обучении школьников математике

Козловская Н.А., учитель математики

МАНОУ "Гимназия № 2",

г. Мариинск Кемеровской обл.

Современная школа должна готовить своих учеников к жизни в новом мире. Реализация федерального государственного образовательного стандарта требует и новых подходов к обучению учащихся, использования таких методов и приемов, которые формируют у школьников навыки самостоятельного добывания знаний, умения выдвигать гипотезы, делать выводы и строить умозаключения.

Задача учителя - помочь ученикам освоить универсальные способы действия, объективно оценить свои возможности, способности, интересы и склонности. "Нужно, чтобы дети, по возможности, учились самостоятельно, а учитель руководил этим самостоятельным процессом и давал для него материал" - слова К.Д. Ушинского отражают суть урока современного типа. Требования федерального государственного образовательного стандарта не являются чем-то абсолютно новым для практикующих учителей. И всё же у многих педагогов они вызвали тревогу и неуверенность в своих силах. Как спроектировать урок, который формировал бы не только предметные, но и метапредметные результаты? Какие из предложенных в учебнике заданий целесообразно отобрать для урока? Какие методы и приёмы работы будут эффективными? Какие формы организации деятельности учащихся стоит применять? И, наконец, нужно ли совсем отказаться от принятых в традиционной методике преподавания форм работы с обучающимися? Это далеко не все вопросы, которые сегодня задаёт учитель, реализующий ФГОС ООО.

В материалах стандарта личностные, метапредметные и предметные достижения учащихся выступают результатом образования. Если понимание личностных и предметных результатов у учителей есть, то метапредметмые результаты, их формирование и диагностирование у учащихся ещё предстоит осваивать 1 . Под метапредметными результатами понимаются универсальные способы деятельности учащихся – познавательные, коммуникативные – и способы регуляции своей деятельности, включая планирование, контроль и коррекцию. Осваиваются универсальные способы деятельности учащимися на базе одного, нескольких или всех учебных предметов и применяются как в рамках образовательного процесса, так и при решении проблем в реальных жизненных ситуациях.

Изучение математики в основной школе направлено на достижение следующих целей в метапредметном направлении:

формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии цивилизации и современного общества;

развитие представлений о математике как форме описания и методе познания действительности, создание условий для приобретения первоначального опыта математического моделирования;

формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для математики и являющихся основой познавательной культуры, значимой для различных сфер человеческой деятельности.

Оценка метапредметных результатов описана как оценка планируемых результатов представленных в разделах: «Регулятивные учебные действия», «Коммуникативные учебные действия», «Познавательные учебные действия».

Достижение метапредметных результатов обеспечивается за счёт основных компонентов образовательного процесса, то есть всех учебных предметов, базисного плана и применяются учащимися как в рамках образовательного процесса, так и при решении проблем в реальных жизненных ситуациях.

Основным объектом оценки метапредметных результатов служит сформированность ряда регулятивных, коммуникативных и познавательных универсальных действий, т.е. таких умственных действий учащихся, которые направлены на анализ и управление своей познавательной деятельностью. Другими словами, основное содержание оценки метапредметных результатов в школе строится вокруг понятия «умение учиться». Одним из направлений применения умений в математике является усиление прикладной направленности, т. е. появление целого пласта задач практической направленности. Такого рода задачи появились в итоговых КИМах по математике (ЕГЭ, ОГЭ), это задачи на использование приобретённых математических знаний в повседневной жизни. Такие задания позволяют развивать метапредметные компетенции, показывают связь математики с жизнью, что на самом деле обуславливает усиление мотивации к изучению данного предмета 2 .

В Федеральном государственном образовательном стандарте основного общего образования содержатся требования к метапредметным результатам обучении 3 .

В соответствии с этим документом, метапредметные результаты освоения основной образовательной программы основного общего образования должны отражать 4:

Умение самостоятельно определять цели своего обучения, ставить и формулировать для себя новые задачи в учебе и познавательной деятельности, развивать мотивы и интересы своей познавательной деятельности;

Умение самостоятельно планировать пути достижения целей, в том числе альтернативные, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач;

Умение соотносить свои действия с планируемыми результатами, осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата, определять способы действий в рамках предложенных условий и требований, корректировать свои действия в соответствии с изменяющейся ситуацией;

Умение оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности ее решения;

Владение основами самоконтроля, самооценки, принятия решений и осуществления осознанного выбора в учебной и познавательной деятельности;

Умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии, классифицировать, самостоятельно выбирать основания и критерии для классификации, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и делать выводы;

Умение создавать, применять и преобразовывать знаки и символы, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач;

Смысловое чтение;

Умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками; работать индивидуально и в группе: находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов; формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение;

Умение осознанно использовать речевые средства в соответствии с задачей коммуникации для выражения своих чувств, мыслей и потребностей, планирования и регуляции своей деятельности; владение устной и письменной речью, монологической контекстной речью;

Формирование и развитие компетентности в области использования информационно-коммуникационных технологий;

Формирование и развитие экологического мышления, умение применять его в познавательной, коммуникативной, социальной практике и профессиональной ориентации.

В течение всех лет обучения в школе мы много решаем разнообразных задач, в том числе комбинаторных и логических. Чтобы успешно решать задачи такого вида, надо уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы.

Логические задачи от обычных отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Чаще всего эти задачи носят занимательный характер и не требуют большого запаса математических знаний, поэтому они привлекают даже тех учащихся, которые не очень любят математику.

При обучении математики в последнее время возрастает роль комбинаторных задач, так как именно в них закладываются возможности не только для развития алгоритмического и логического мышления учащихся, но и для подготовки обучающихся к решению проблем, которые возникают в повседневной жизни.

Оценку метапредметных результатов можно проводить в ходе различных процедур: решение задач творческого и поискового характера, итоговые проверочные работы, комплексные работы на межпредметной основе и другие.

Приведу примеры некоторых таких заданий.

Умение самостоятельно планировать пути достижения целей, в том числе альтернативные, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач

Задание 1 5 . Составьте алгоритм для нахождения площади треугольника (см. рис.). Найти площадь треугольника. Что можно сказать о количестве способов решения этой задачи.

Верное решение.

Дополнить данный треугольник до прямоугольника, построив на каждой его стороне прямоугольный треугольник;

2. Найти площади этих треугольников и вычислить их сумму;

3. Найти площадь прямоугольника;

4. Найти разность получившихся площадей. Это и есть искомая площадь.

Ответ: 6 см 2 ; этот способ не единственный.

Комментарий. Здесь можно проверить умение ставить цели, создавать алгоритм для решения учебных математических проблем учеником самостоятельно.

Умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни

Задание 1 6 . В три пакета разложили карамель, но в нее попали несколько ирисок. Из какого пакета больше шансов вынуть наугад ириску и из какого - меньше?

Ответ: из зеленого пакета – больше шансов, из красного – меньше шансов.

Комментарий: проверяется овладение навыком смыслового чтения текста математического содержания, умение анализировать, устанавливать связи и зависимости между объектами, умение строить логическую цепочку рассуждений и выбирать правильный ответ.

Задание 2 7 . Чашка, которая стоила 90 рублей, продаётся с 10%-й скидкой. При покупке 10 таких чашек покупатель отдал кассиру 1000 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

Решение (возможны и другие варианты решения)

90: 100 = 0,9 (руб) – на 1%

0,9  10 = 9 (руб) – на 10%

90 – 9 = 81 (руб) – стоимость чашки со скидкой

81  10 = 810 (руб) – стоимость 10 чашек

1000 – 810 = 190 (руб) – сдача с покупки

Ответ: 190 руб.

Комментарий: проверяется овладение навыком смыслового чтения текста математического содержания, умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическую цепочку рассуждений

Задание 3. Печенье упаковали в пачки по 250 г. Пачки сложили в ящик в 4 слоя. Каждый слой имеет 5 рядов, по 6 пачек в каждом. Выдержит ли ящик, если максимальная масса, на которую он рассчитан, равна 32 кг?

5  6 = 30 (п) – печенья в одном слое

30  4 = 120 (п) – печенья в 4 слоях

120  250 = 30000 (г) – печенья

30000 г = 30 кг – масса всего печенья

Ответ: выдержит

Комментарий. Проверяется способность сопоставлять полученный результат и поставленный вопрос.

Задание 4. Грузоподъёмность пассажирского лифта в жилом доме, как правило, около 400 кг. Сможет ли такой лифт поднять всех членов вашей семьи? Объясни.

Ответ. Задачу решить нельзя: неизвестно, сколько членов семьи и каков вес каждого.

Комментарий. Проверяется действие анализа – способности сделать вывод в заданной ситуации (отсутствие одного условия не даёт возможность решения), алгоритмизировать (прикидывать) ход решения, объяснять возможность решения учебной задачи.

Умение соотносить свои действия с планируемыми результатами, осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата .

Задание 1 8 . Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?

Сумма очков может быть равна 5 в четырех случаях: «3 + 2», «2 + 3», «1 + 4», «4 + 1».

Комментарий. Проверяется готовность контролировать процесс и результат выполнения учебной задачи: «Сумма очков может быть равна 5»

Задание 2 . Сколько существует трехзначных чисел, сумма цифр которых равна двум?

Решение: 200, 110, 101

Ответ: 3 числа

Комментарий. Проверяется готовность контролировать процесс и результат выполнения учебной задачи: «Сумма цифр равна 2»

Умение находить в различных источниках информацию, необходимую для математических проблем, и представлять её в понятной форме; принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и вероятностной информации

Задача 1 9 . Михаил решил посетить Парк аттракционов. Сведения о билетах на аттракционы представлены в таблице. Некоторые билеты позволяют посетить сразу два аттракциона.

Пользуясь таблицей, подберите набор билетов так, чтобы Михаил посетил все четыре аттракциона: колесо обозрения, комнату страха, американские горки, автодром, а суммарная стоимость билетов не превышала 800 рублей. В ответе укажите ровно один набор номеров билетов без пробелов, запятых и других дополнительных символов

Билета только на комнату страха нет, поэтому необходимо приобрести второй билет в результате чего первый и третий билеты не нужны. Остается взять либо четвертый и шестой (750 рублей), либо просто пятый (700 рублей).

Ответ: 246 или 25

Комментарий. Проверяется умение учащихся работать с информацией, представленной в виде таблицы, умение принимать решение в условиях избыточной информации.

Задача 2. Счет, полученный несколько лет назад в магазине, сохранился не полностью. Восстановите счет. 10

Комментарий. Проверяется умение обучающегося работать с информацией, представленной в виде таблицы, умение принимать решение в условиях неполной информации.

Верный ответ:

Задача 3 11 . От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.

При поездке на автобусе потребуется времени 15 мин. + 2 ч. 15 мин. + 5 мин. = 2 ч. 35 мин.

При поездке электричкой потребуется времени 25 мин. + 1 ч. 45 мин. + 20 мин. = 2 ч. 30 мин. = 2,5 ч.

При поездке маршрутным такси потребуется времени 25 мин. + 1 ч. 35 мин. + 40 мин. = 2 ч. 40 мин.

Комментарий. Проверяется понимание информации, представленной в виде таблицы, ее «чтение» и анализ для ответа на вопрос задачи

Умение понимать и использовать математические средства наглядности (графики, диаграммы, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации

Задание 1 12 . Андрей и Иван соревновались в 50-метровом бассейне на дистанции 100 м. Графики их заплывов показаны на рисунке. По горизонтальной оси отложено время, а по вертикальной – расстояние пловца от старта. Кто быстрее проплыл первую половину дистанции? В ответе запишите, на сколько секунд быстрее он проплыл первую половину дистанции.

Решение.

Из графика видно, что Андрей быстрее проплыл первую половину дистанции за 40 с, а Иван за 60 с. Таким образом, Андрей проплыл первую половину дистанции на 60 − 40 = 20 с быстрее.

Комментарий. Проверяется умение понимать математические средства наглядности, «читать» и использовать информацию, представленную в виде графика

Задача 2 13 . В таблице приведены нормативы по бегу на лыжах на 1 км для 10 класса.

Какую отметку получит девочка, пробежавшая на лыжах 1 км за 6 минут 15 секунд?

Время пробега дистанции в 1 км (для девочек) можно разделить на следующие категории:

1) 6 минут и менее - получение оценки «5»;

2) от 6 минут до 6 минут 30 секунд - получение оценки «4»;

3) от 6 минут 30 секунд до 7 минут 10 секунд - получение оценки «3»;

4) 7 минут 10 секунд и более - получение оценки «неудовлетворительно».

Значение 6 минут 15 секунд относится ко второму и соответствует получению оценки «4».

Комментарий. Проверяется умение учащегося работать с информацией, представленной в виде таблицы

Задача 3 . На диаграмме показано распределение площадей океанов. Выберите океан с наименьшей площадью.

Решение. Северный Ледовитый океан

Комментарий. Проверяется умение извлекать информацию из диаграмм, сравнивать величины, находить наибольшее и наименьшее значения.

Задача 4 14 . Квартира состоит из комнаты, кухни, коридора и санузла. Кухня имеет размеры 3 м на 3,5 м, санузел - 1 на 1,5 м, длина коридора - 5,5 м. Найдите площадь комнаты. Ответ запишите в квадратных метрах.

Найдём площадь всей квартиры: S квар = 4,5  7 = 31,5 м 2

Найдём площадь кухни: 3,5  3 = 10,5 м 2

Найдем площадь с/у и коридора: (1,5 + 5,5)  1 = 7 м 2

Площадь комнаты: 31,5 – 10,5 – 7 = 14 м 2

Фрагмент экспериментальной рабочей тетради

по развитию эвристических умений уч-ся 5 класса

Занятие № 11 - 12.

Учимся приёмам: «разбиение целого на части», разбиение на подзадачи, математическое комбинирование.

Устная разминка:

1. Самолет преодолевает расстояние от Киева до Одессы за 1 час 10 мин. На обратный путь тратит 70 мин без изменения начальной скорости. Как это объяснить?

2. Росло 5 ив. На каждой иве по 5 веток. На каждой ветке по 5 меньших ветвей. А на каждой из тех веточек по 5 груш. Сколько груш росло на дереве?

3. Колесо имеет 18 спиц. Сколько промежутков между ними?

Математическая справка:

Разложить на подзадачи - значит выделить в задании более простые задачи или составляющие фигуры, которые необходимо решить или рассмотреть их свойства, отношения для нахождения решения сложной задачи

Помощник

Описание шагов рассуждений, действий

Образец действий

Пример 1. Сколько единиц встретится, если записать все натуральные числа от 1 до 200?

Решение: проанализируем условие: числа от 1 до 200 делятся на однозначные, двузначные и трёхзначные, причем цифра 1 может стоять на любом месте и повторяться. Итак имеем такие подзадачи:

1. Сколько двузначных чисел имеют 1?

2. Сколько двузначных чисел имеют 1 на первом месте?

Это числа от 10 до 19 включительно, то есть 10

3. Сколько двузначных чисел имеют 1 на втором месте?

со второго по девятый десятки такие числа встречаются по одному, то есть их 9

4. Сколько единиц до 200 в трехзначных числах на первом месте?

5. Сколько единиц во второй сотне на втором месте?

6. Сколько единиц в трехзначных числах на третьем месте?

7. Вычисления:

1+10+9+100+10+10=140

Пример 2. Найти площадь стены "старинной башни": (рис. 1)

рис. 1 1 м

4 м

5 м

Решение: Рассмотрим данную фигуру и определим, из каких известных фигур она состоит?

1 прямоугольник и 5 квадратов, причем 2 из этих квадратов из фигуры вырезаны.

Вывод: площадь фигуры состоит из суммы площади прямоугольника и суммы площадей трёх квадратов без площади двух квадратов внутри.

Есть такие простые подзадачи:

1) найти площадь прямоугольника

Запиши действия самостоятельно!!!

2) найти площадь квадрата

3) найти площадь башни (подумай как)

Подумай как можно разбить на фигуры "башню" другим способом.

Попробуй составить план решения и решить.

Сверь результаты в двух способах.

Алгоритм-ориентир

1. Определи цель задания.

2. Проанализируй условия в соответствии с поставленной целью.

3. Определи, можно ли разбить условие на части.

4. Если условие не разбивается, попробуй разбить на части объект в задании.

5. Можно ли разделить требования задачи (вопросы)?

6. Рассмотри части, какие они имеют свойства, или связи, отношения в соответствии с целью задачи.

7. Продумай действия по решению каждой выделенной части (выделенной простой в задачи)

8. Составь план решения задачи по выделенным подзадачам.

Выполни самостоятельно :

1. В книге пронумерованы страницы с первой по сто семьдесят вторую. Сколько цифр было напечатано при нумерации страниц?

2. Для нумерации страниц книги пришлось напечатать 2001 цифру. Сколько страниц в этой книге?

3. Найти площадь затемненной части фигуры, если АВ = АС = 12 (см. Рис. 2)

Рис. 2

А С |із|

4. Петя разрезал проволоку на кусочки и составил фигуру (рис.3). Смог бы Петя составить из этого провода фигуру (рис. 4)? (разбей на подзадачи)

рис.3 рис. 4

1 см 1см | 1см | 1 см 1см | 3 см 3 см 3 см

2 см

5. Квадрат разрезали на 4 равные части и составили из них 2 квадрата. Как это сделали?

Обдумай на досуге:

Попробуй нарисовать два квадрата так, чтобы все львята оказались "запертыми в клетках".

Периметр многоугольника

Ответы к стр. 42

1. 1) Измерь стороны многоугольников и найди периметр каждого из них в сантиметрах.

1) 3 + 4 + 4 + 1 = 12 (см)
2) 3 + 3 + 4 = 10 (см)
3) 2 + 5 + 5 + 3 = 15 (см)

2) Вспомни, как, используя циркуль, находили длину ломаной. Расскажи, как можно найти периметр многоугольника, не узнавая длину каждой из его сторон. Найди этим способом периметр треугольника.

На прямой надо отложить отрезки, равные длинам сторон многоугольника, и измерить общую длину отрезков. Это и будет периметр прямоугольника.

2. Слава согнул кусок проволоки так, что получился треугольник со сторонами длиной 8 см, 3 см и 6 см. Какой длины был этот кусок проволоки? Чему равен периметр треугольника?

8 + 3 + 6 = 17 (см) — длина куска проволоки равна длине периметра треугольника.

3. Сравни выражения.
1) Сумму чисел 8 и 9 и разность чисел 20 и 1.

8 + 9 < 20 — 1

2) Разность чисел 16 и 8 и разность чисел 16 и 10

16 — 8 > 16 — 10

4. У Димы две монеты: 5 р. и 2 р. Он купил тетрадь за 3 р. Сколько рублей у него осталось?
Юля и Слава составили по этой задаче разные выражения.
Юля: Слава:
(5 + 2) — 3 (5 — 3) + 2
Объясни, как рассуждал каждый из них.

Юля нашла количество денег, которое было у Димы (5 + 2), а затем вычла из неё цену тетради.
Слава нашёл сдачу после покупки тетради (5 — 3), а затем сложил сдачу и оставшиеся у Димы деньги.

ЗАДАНИЕ НА ПОЛЯХ:

Набери 13:

13 = 3 + 7 + 3
13 = 4 + 6 + 2 +1 и т. д.